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一、证明题

1． 己知在[a, b]上，函数列f n （x ）一致收敛于f n （x ），函数列g n （x ） 一致收敛于g （x ）.

证明：函数列【答案】由

，

一致收敛于

.

在I 上分别一致收敛于f （X ），g （x ）, 可得

在I 上分别一致收敛于

又

故

在I 上一致收敛于

2． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有

【答案】设点的任何取法, 只要

则由定积分定义, 对任给的

, 就有

由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显

然成立.

现设定理知且

时, 恒有

对

于

上的任何分割

‘上对

用拉格朗日中值定理, 得

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上严格单调且在上可积, ,

. , 使得对[a, b]的任何分割及分

上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时

,

由于

在上连续, 又由于

在

在上可积, 故有界, 又由导函数的达布

,

使得当

没有第一类间断点,

故

上连续. 从而一致连续, 故存在

及任意分

点,

在

令, 则得的一个分割. 从而当

时（此时

满足

且

, 且

）, 有

故

即

3． 设f 为可导函数, 证明:若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时即

故

, 得

或

.

, 则必有

或

.

二、解答题

4． 设

（1）垂直于x 轴； （2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1）

即2x=3xy.

（2）若gradu 平行于z 轴，则

（常数）

即

（3）gradu 恒为零向量，则

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试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，0, 1）, 故

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即

5． 设函数

u=f（x , y

）在

【答案】首先证明若对上任意两点所以由因而

.

对x 的任意性, 知

, 从而

所以

6． 求定积分

【答案】作变量替换

则

则

）与x 无关, 即, 据上述结论知,

.

.

解得上有

在

|或

, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续

, 则

由中值定理

再求u 关于x

, y

的函数式.

因

7． 求极限

【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得

8． 求下列函数的麦克劳林级数展开式:

（1）

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