2018年燕山大学理学院701数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
2． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为
时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 证明: 则 所以 又因为（2）因 为 于是 因为 所以 .. , 所以对 于 所以 存在N , 使得 当 时 , 即 3． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使 [2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数 使得 第 2 页，共 40 页 为n 个正数. 证明在区间[0, 1] 【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为 9 =f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设 , 则有 由拉格朗日中值定理, 时, 有 , 使 [2]用上例的思路来证明之. 令 以及 显然可以求得一点 又可求得一点 使得 在每一个小区间即 亦即 将上式对i 从1到n 求和, 可得 4． 证明数列 【答案】由 第 3 页，共 40 页 , 使. 和, 使 , 取, 取 ; . 当 于是, 总存在 当f （a ）>f（b ）时, 有 . 取 使使 . 再在. 总之, 我们有 在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理, 上对f （x ）应用介值定理, . , 使得 . 如此下去, 可以求出 上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在 收敛, 其中并求极限 可知又 有下界. 单调递减, 从而 解得 5． 设级数 收敛, 证明 【答案】 因为收敛, 即 敛, 又 在在 , 且 故 上一致收敛, 所以由阿贝尔判别法知 , 上连续, 故 在 上也连续, 即 单调且一致有界, 又级数在 上一致收 存在 . 二、解答题 6． 求均匀曲面 【答案】设质心坐标为| , 由对称性有: 的质心. , 其中S 为所求曲面的面积, 而 则 D 为S 在xOy 面投影 , 所以质心坐标为 . 7． 将下列函数展开成麦克劳林级数: （1）（2）（3）（4）（5） 第 4 页，共 40 页 .