2018年延边大学理学院844分析与代数[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
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一、证明题
1． 证明下列命题:
（1）若f （x ）在[a, b]上连续增,
则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在
上连续, 且
, 则
为
？
【答案】（1）由f （x ）在[a, b]上连续及洛必达法则, 得
因此F （x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a, b]上连续, 又当
时,
根据积分中值定理, 存在由f （x ）在[a, b]上单调增, 得故F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）由题设, 可得
. 因此
在
内可微, 且
由从而
故
_
为
内的严格增函数. 因
知, 函数（x-t ）f （t
）在
上非负, 且不恒为零, 所以
,
,
使
从而当
. 所以
时,
上的严格增函数,
如果要使
在
上为严格增, 试问应补充定义
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所以补充在
, 使函数上严格增.
成为
上的连续函数, 再由
, 可得
2
． 设f
（x
）在[0
, 1]
上连续可导, 证明:
【答案】
方法一用积分中值定理.
因为
而
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
故
3． 设f 在
内有定义. 证明:若对任何数列
目
.
下面证明A=B.作数列
且都相等.
,
且
由题设知
如下,
存在. 于是对于
极限都存在, 则所都存在.
,
且
有这些极限都相等.
【答案】设数列设则必有
极限
由题设的两个子列
于是A=B.由数列的任意性知, 对任何数列
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二、解答题
4． 设
令
（1）f （x ）在
. 求证:
上可导, 且导数只在
处不连续; 处不连续.
,
且
, 所以由连续性定理
知
（2）f （1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因
为
. 又当
时,
因此在上连续, 且, 从而
在上一致收敛. 于是函数在
上可导, 且
又因为在上可导, 导数在点处不连续, 所以
在（2
）
上可导, 且导数只在点处不连续.
, 故由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导数只在
点
处不连续.
5． 计算下列各题:
（1）（2）
（3）
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