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一、证明题

1． f （x

）在

. 上有连续二阶导数，且

，令

证明：

收敛.

【答案】由题设，对n=1, 2，…，有

由

在

上有连续二阶导数，知. 于是，

利用比较判别法，由子

收敛，则级数

收敛.

, 使得

【答案】设

则

, 于是有

由假设gU ）为单调函数, 故使得

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sinnx :在上绝对可积，即存在M>0,

使得

2． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在

不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在

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3． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

所以（5）（6）设

则

于是

故

（7）设

, 则

于是

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由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

1知

在

内有界,

在

内有界,

即

于是,

在某个

内

有界, 故

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故

4． 设曲面z=f （x , y ）二次可微, 且充要条件是:

. 证明:对任给的常数c , f（x , y ） =c为一条直线的

【答案】

为一条直线即由f （x , y ）=0所确定的隐函数y=y（x ）在xOy 平面上

, 而

. 故

由此可见, 命题成立.

表示一条直线. 显然, y=y （x ）是一条直线<=>

二、解答题

5． 求密度为的均匀球面

【答案】因

对于z 轴的转动惯量 , 则

6． 设函数

其中

. 问:

与

都存在?

可知, 当

,

即f （x , y ）在原点连续. （2）

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（1）对于P 的哪些值, f （x , y ）在原点连续? （2）对于p 的哪些值, 【答案】（1）由

（3）对于p 的哪些值, f （x , y ）在原点有一阶连续偏导数? 并给出证明.

且

时, 有