2018年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
2． 设
服从大数定律.
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
3． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
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【答案】因为的独立性可得
为n 维随机变量，其协方差矩阵则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
上取值，
时，有
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
的相互独立性可导致
分布函数，即
相互独立，
4． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
5． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
因此 6．
设计.
【答案】由于
这就证明了
7． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是的相合估计. 是样本，证明则
由
由于，
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证明
则
也服从
从而
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
是独立同分布
,
的UMVUE.
证明
:
是的相合估
与的相关系数为
因而
所以
8． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
这表明:
服从参数为1的指数分布.
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
二、计算题
9． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y ，则（x ，y ）的可能取值形成如下单位正方形示为
其面积为
，而事件A “两数之和小于7/5”可表
，其区域为图1中的阴影部分
.
图1
所以由几何方法得
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