2018年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明这就证明了是
2． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
由此可得到的UMVUE ,
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
，因而
t
，下一步，将
式两端对
求导，略去几个前面已经指出积分为0
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
3． 设
是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
4． 设随机变量
【答案】若随机变量而
证明
则
也服从
从而
这就证明了
5． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
【答案】因为的独立性可得
由马尔可夫大数定律知服从大数定律.
:
6． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
7． 证明:容量为2的样本的方差为
【答案】
8． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时，
又设
和
则
的密度函数为则
相互独立，且都服从上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
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