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一、证明题

1． 设

, 证明

令于是 2． 设

【答案】

所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列

, 则

. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.

, 由极限的四则运算法则知

连续, 从而f （x , y）在D 上连续.

, 则

但

所以f （x , y ）在D 上不一致连续. 3． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

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【答案】原不等式

, 则

, 从而原不等式成立.

, 故f （x ）在（0, 1）上单调递减.

【答案】设正项级数的部分和分别是.

收敛, 则有上界, 从而, 有上界, 即有上界, 因此收敛.

由此知, 若于是

4．

设

等式的几何意义吗?

【答案】由于当

时, 原不等式化为

上式等价于

两边平方, 得

即

由于即

当

所以上式等价于

时, 这个不等式是成立的

. 所以原命题成立.

其几何意义表示

的两

题中不等式的几何意义如图所示, 其中边之差小于第三边.

故只需对

的情形进行证明.

证明:

. 你能说明此不

与

收敛, 则

有上界, 故

也收敛

.

同时收敛, 同时发散.

图

5． 设

, 证明:

【答案】由拉格朗日中值定理知,

, 使得

因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0

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下面只需证明:令因为当

时,

, 则

.

, 显然x=2是g （x ）在

当l

,

,

,

从而原不等式成立.

有

上的唯一驻点.

所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是

6． 设函数

f 在区间

（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（

a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

其中

介于与x 之间.

又f 在（

a ,

b ）上的各阶导数一致有界

, 故

从而

由定理得

二、解答题

7．

用抛物线法近似计算

【答案】当n=2时,

当n=4时,

当n=6时,

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（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.