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一、证明题

1． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,

则至少存在三个点

注意到f 在上连续, 对f 分别在区间

, 使得

再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f

在上是单调递增的, 则对任意

有

. 注意到f 在上是一一对应

, 这表明f 在上是严格单调的. 的, 故必有

2． 证明:若f , g均为区间I 上凸函数. 则

【答案】因为f , g 均为区间I 上的凸函数, 所以对任意的

满足和

但

, 而

而

和. 由

于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即

上应用介值定理, 则存在

这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.

也是I 上凸函数.

及

, 总有

, ①

, ②

由于于是

. 因而

③

④

由式①〜式④得

即

3． 设

【答案】

4． 设正项级

【答案】因为

收敛，证明级数

也收敛. ，义由已知碍

及

收敛，所以

收敛，

, 证明

, 故F （x ）是I 上的凸函数

进而由比较原则得

5． 证明曲线

【答案】设

收敛.

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

. , 则

法线斜率为

, 所以过点

的法线方程为

化简得

. 原点（0, 0）到法线的距离

二、解答题

6． 求

之和.

【答案】用S n 表示级数的前n 项部分和, 则

故

7． 求极限

【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得

8． 求极限

【答案】令

（k 为自然数）.

, 由

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可得原极限 9． 计算

a ＞0, b ＞0

, c＞

0.

使其完全包含在

内. 所以

作代换

进行计算后得到

解法二:作

使其完全包含在

内

10．方程

【答案】令②F （0, 0）=0; ③④

.

【答案】

解法一:

这是一个第二类曲面积分, 不妨设其方向为外法线方向.

设

经演算得到

在原点附近补一个小椭球在

与V

之间的区域,

被积函数有连续偏导数,

满足高斯公式, 由

能否在原点的某邻域内确定隐函数

y=f（x ）或x=g

（y ）?

, 则有

①F （x , y ）在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

在原点的某邻域内可确定隐函数y=f（x ）.

故由隐函数存在惟一性定理知, 方程