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一、证明题

1． 利用导数定义证明

:

【答案】

2． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

3． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明:

（1）（2）【答案】将

代入欧拉公式, 得

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.

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

, 故由定理可知数列收敛,

设

（2）不动点

又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

4． 证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当证明如下:由于是

5． 证明:若

【答案】因为于是当

时, 有如果

时, 由知, 对任意数列

则对任一正整数k , 有

所以, 对于任给

所以

可推出存在N , 当满足

存在N , 当

因此是无理数. 由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

时,

此时, 命题变为:

时,

但数列

即是发散的.

当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也

有

于

是

所以对于任

意

6． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,

且

二、解答题

7． 设f （x ）在区间I 上连续, 并且在I 上仅有惟一的极值点x 0, 证明:若而是f 的极大（小）值点, 则x 0必是f （x ）在I 上的最大（小）值点.

【答案】用反证法, 只对x 0是f 的极大值点的情形进行证明. 假设x 0不是f （x ）在I 上的最大值点, 则存在一点在

,

使

, 使得,

取

（不妨设

,

则当

. 由连续函数的最大最小值定理知, （f x ）

）

时

,

,

即

是f

上存在最小值m.

因为

, 而x 0是f （x ）的一个极大值点,

所以存在

（x ）的一个极小值点, 这与在I 上仅有惟一极值点x 0矛盾. 故原命题成立.

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8

．

将函数展开为傅氏级数,

并求级数

, 且

的和.

【答案】

因为f （x

）是偶函数, 所以

即得

由封闭性公式, 有

由此解得

9． 应用幂级数性质求下列级数的和

:

（1

） （2） 【答案】⑴设

则

所以

从而

（2）可求得

的收敛域为（﹣1, 1], 设

则

故

从而

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