2018年江苏师范大学数学与统计学院647数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 倘若例. ）
【答案】不一定. 如反例:设数列
为
为
是有界数列.
显然, 这两个数列都是无界数列, 但是
2． 证明定理并求下列幂级数的收敛半径:
（1）（2）
【答案】对任意的x ,
据定理推论2可得:
当当
时, 级数时
收敛, 从而级数r 从而可得级数时, 收敛半径
时, 则若
时.
所以, 故可知K=0. 故收敛半径
故收敛半径R=l.
收敛.
发散.
都是无界数列, 试问
是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反
从而（i ）当（iii
）当（1）因（2）因
（ii ）当p=0时, 对任意的2均确下面求两幂级数的收敛半径.
3． 试用一致连续的定义证明:若f , g都在区间I 上一致连续, 则f+g也在I 上一致连续.
【答案】因为f , g在区间I 上一致连续, 所以对任给的使得当当有
故f+g在I 上一致连续.
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, 存在
,
则当
,
时,
时, 有时,
有
.
取
；
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4． 给定两正数
与
证明
:【答案】由又因为因此
,
于是
所以为单调递减,
即
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
与等比中项
因而
一般的令
为单调递增. 并且
对
皆存在且根等.
即
都是有界的. 根据两边取极限, 得
单调有界定理知
的极限都存在. 设
5． 设x=x（y , z ）, y=y（z
, x ）,
z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:
.
【答案】由隐函数定理知
所以得
二、解答题
6． 求下列函数的偏导数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】 （1）（2）
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页
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（3
）（4）（5）（6）（7）
（8）（9）（IO ）
7． 据理说明:在点（0, 1）近旁是否存在连续可微的f
（x , y ）和g （x , y ）,
满足f （0, 1）=1, g （0, 1）=﹣1, 且【答案】设
则
（1）F , G 在以P 0（0, 1, 1, ﹣1）为内点的
R 内连续； （2）F , G 在R 内具有一阶连续偏导数； （3）（
4）
4
4
由隐函数组定理知, 方程组在P 0附近惟一地确定了在点（
0, 1）近旁连续可微的两个二元函数
满足f （0, 1）=1
, g （0, 1
）= ﹣1且
8． 对n 次多项式进行因式分解
从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的,
n 个根的已知函数, 即
要得到用系数表示的根, 即
试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程
无重根时, 函数组①存在反函数组②.
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【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有
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