2018年海南大学园艺园林学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 口袋中有n-l 个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球. 问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
【答案】记事件
为“第k 次摸到黑球”，因为计算
较难，故先计算
. 由于口袋
中只有一个白球，而摸到球后换入的都是黑球，所以如果第k 次摸到白球球数不变，故
2． 设总体
【答案】由于总体其均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
3． 设随机变量序列
试证:【答案】这时立.
4． 设
是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相
下存在优于的估计.
，
现考虑形如
的估计类，
，所以
，则前面k 一1次
一定不能摸到白球，即前面k 一1次都摸到黑球，而换入的仍为黑球，即每次摸球时黑球数和白
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
独立同分布，数学期望、方差均存在，且
仍为独立同分布，且
由辛钦大数定律知结论成
，试证:
【答案】因为
9
所以
5． 某烟厂称其每支香烟的尼古丁含量在12mg 以下. 实验室测定的该烟厂的12支香烟的尼古丁含量分别为（单位:mg ）:
是否该烟厂所说的尼古丁含量比实际要少？求检验的p 值，并写出结论. 【答案】我们可用中位数来刻画此问题，于是一对假设为作差
得正值个数为7, 检验的p 值为
与0.05比较，
.
我们不能确认该厂的说法不真实.
6． 求以下分布的中位数:
（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分布（3）对数正态分布【答案】（1
）从（2）记（3）记位数. 则由（2）知
由此得
，
由，令. 即
7． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表
表
比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为
此处m=8, n=9, 由样本数据计算得到于是查表有
中解得，则
可得又记
为X 的中位数，
为Y 的中
）. ， ，
【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，
，备择假设为
，
,
若取显著性水平
从而拒绝域为
，
由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.
8． 设随机变量
【答案】因为
所以
由此得
中任意两个的相关系数都是
试证:
二、证明题
9． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于