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一、计算题

1． 设律？

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

服从正态分布

2． 0.50，1.25，0.80, 2.00是取自总体X 的样本，已知

（1）求的置信水平为

的置信区间；

的置信区间.

的样本值为

它可看作是来自正态总体因此，

的置信水平为

的样本，其样本均值为的置信区间为

（2）由于的置信区间为

3． 设

为自由度为n 的t 变量，试证:

的极限分布为标准正态分布

其中

故的特征函数为

是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为

由于

已知，

（2）求X 的数学期望的置信水平为

为独立的随机变量序列，其中

服从参数为

的泊松分布，试问

是否服从大数定

【答案】 （1）将数据进行对数变换，得到

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知

由特征函数性质知

从而由

再按依概率收敛性知

这就证明了

的极限分布为标准正态分布

注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.

4． 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为

若已知m=2，有

是样本，试求p 的最大似然估计.

的样本中有

个为1，

【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设

个为2，则其似然函数为（忽略常数）

对数似然函数为

将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程

解之得

后一个等式是由于

5． 设随机变量X 的分布律为

【答案】由题意知, 当当当当

时,

6． 设有k 台仪器，已知用第台仪器测量时，测定值总体的标准差为些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到应取何值，方能使

【答案】若要使

设伩器都没有系统误差. 问

成为的无偏估计，且方差达到最小？

的无偏估计，即

则必须有

此时，

，所以代入上式即得.

求它的分布函数

时,

时, 时,

用这

因此，问题转化为在令

的条件下，求

由

得到

从①中可以得到

代入②中，解出

从而

7． 设

取拒绝域为

是来自0-1总体

一的样本，考虑如下检验问题

的极小值.

（1）求p=0，0.1, 0.2，…，0.9, 1时的势并由此画出势函数的图； （2）求在p=0.05时，犯第二类错误的概率. 【答案】 （1）势函数的计算公式为:

则p=0, 0.1，0.2，…，0.9，1时的势计算如下表:

表

可用软件计算，如matlab 语句为它在P=0.2处达到最小.

. 势函数图如图，