2018年杭州电子科技大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件，
它与无关，从而
2． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:
【答案】
3． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
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是充分统计量.
证明:当时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
所以
的方法知结论成立. 4．
设计.
【答案】由于
这就证明了
是的相合估计.
独立同分布
,
证明
:
是的相合估
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
5． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
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6． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
7． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
9
.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
8． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
与的相关系数为
由
由于，
因而
所以
二、计算题
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