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一、计算题

1． 设随机变量x 与y 相互独立, x 的概率分布为

（1）求

（2）求X 的概率密度【答案】（1）（2）设z 的分布函数为当当当

时, 时,

时,

所以z 的分布密度函数为

2． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？

【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题:

>

以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，验统计量可取为

在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1）, 故检验拒绝域为

，

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的概率密度为

则其值为非零时z 的取值区间为

，由于样本量相当大，检

检验的p 值近似为

因此应拒绝原假设，看来此人猜硬帀有某种诀窍.

3． 设总体X 的密度函数为:

»

为抽自此总体的简单随机样本，求位置参数的置信水平近似为

【答案】由于此柯西分布关于对称，故是总体中位数. 其样本中位数

从而可知位置参数的置信水平近似为

的置信区间为

4． 设某元件是某电气设备的一个关键部件，当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时，标准差为30小时，试问:应该有多少备件，才能有证这个系统能连续运行2000小时以上？

【答案】记

为第i 个元件的寿命，

则

根据题意可列如下不等式

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

从中解得

所以取

即应有23个此种元件，

以上的概率，保的置信区间.

，所以

可有以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.

5． 设随机变量Y 服从参数为的指数分布，定义随机变量X 如下:

求和X 2的联合分布列. 【答案】

的联合分布列共有如下4种情况:

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所以

的联合分布列为

表

6． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,

求: （1）随机变量V 的概率密度（2）

故V 的概率密度为

（2）解法1:

故U 的概率密度为

解法2:因为

, 故

.

7． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点:

【答案】

8． 某厂产品的不合格品率为0.03, 现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？

【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布

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；

【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为

的分布函数为

. 的分布函数为

，

.