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一、计算题

1． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为

在球面坐标系下, 用

的平面截立方体, 截口是长方形, 因此单位立方体可表示为

和

和

其中

2． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

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.

【答案】 （1）

（2）

（3）令

则

式①一式②得:

于是

②

①

因此有:

（4）当由迫敛性得

（5）得:

（6）在n 个数

最大,

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时, 由知

而由迫敛性

最小. 因而

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而

所以

3． 写出下列级数的乘积:

（1

）（2

）

【答案】

（1

）级数

得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

原式（2）因

收敛, 故级数

与

均绝对收敛, 按对角线相乘得

所以, 原式=

=1

4． 计算下列广义积分

（1）

;

第 4 页，共 29 页

与级数

在

时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,