2018年苏州大学数学科学学院618数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
作分割
理,
, 使得
其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界, 所以可设式得
设与
分别表示f （x ）与
在
上的振幅, 在公式（2）中, 让x' , x" 在
由此推出
令限得
因此
2． 设f 在
内有定义. 证明:若对任何数列
目.
下面证明A=B.作数列
且都相等.
上连续
,
至少在两点达到最小值.
【答案】由题设知f （x ）在
上的值域为
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, 求证:
设
, 则根据微分中值定
. 于是由（1）
上
变化, 两边取上确界得到
, 因为, 所以. 由此, 令对（3）式取极
且
由题设知如下,
的两个子列
,
且
存在. 于是对于
极限
都存在, 则所都存在.
有这些极限都相等.
【答案】设数列设则必有
极限
3． 设f （x
）在明:
. 又因为
, 由连续
由题设
于是A=B.
由数列的任意性知,
对任何数列
, 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ） 函数的介值性知, 所以 , 使得 , 使得显然 . 再由（f x ）在, 但 上的值域也是 , , 即F （x ）至少在两点达到最小值. 4． 证明:设 则 甶D 上无界的充要条件是存在 所以 当 有 这说明在点 连续, 证明f （x , y ）在点 其中 . 于是有 连续, 所以 当 故f （x , y ）在点 可微. 可微. 使时, 有 【答案】充分性 因为这说明时, 存在点 5． 设 在D 上无界. 在D 上无界, 所以 有 在点 存在, 在点 必要性 因为因此, 当取 【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知 令 时有 , 从而 . 因为fy （x , y ）在 点 , 即 二、解答题 6． 已知 【答案】令 则 求 所以 , 使图中两阴影部分面积相 7． 设y=f（x ）为[a, b]上严格增的连续曲线（图）. 试证存在等 . 第 3 页，共 23 页 图 【答案】作辅助函数 则F （t ）在[a, b]上连续可导. 由f （x ）为严格增函数可得 由根的存存定理. 存（a , b ）内存在一点, 使得上式两端恰为两部分面积, 故证得结论. 8． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小. 【答案】 令1. 故 , . 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小. , 则 , 由 得 , 舍去－1得a = . 即 9． 利用定积分求下列极限: （1）（3） 【答案】（1）令 （2）. , 因为 * 所以 9 故 （2）令 . 则 当 时, 所以 * 从而 , 即 ; 第 4 页，共 23 页