2018年首都师范大学数学科学学院733数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
=f （1）. 证明:对任何正整数n , 存在上连续, f （0）
, 则有
, 则有
若证.
若其中
的存在定理知, 存在一点
使得
故对任何正整数n , 存在
2． 证明数集
【答案】令数集两个聚点.
对任意
由或者有
3． 设故只需考虑
故若
得
,
取
且
.
总之
,
令, 则当
时, 或者有
.
有且只有1和-1两个聚点. 与级数
与级数
收敛, 必有
司的关系. 因为
收敛；若
发散, 必有
发散.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同,
.
,
有且只有两个聚点
,
数列, 数列
和
, 则
都是各项互异的数列, 根据定义2, 1和-1是S 的
使得
全不为0, 则必存在两点, 使得
在
,
上也连续. 由根
上连续, 因而F （x ）在
中有一个为0, 设
, 则令
, 有
, 命题得
, 使得
, 命题得证.
【答案】当n=1时, 取当n>1时, 令
由定义知不是S 的聚点, 故数集
证明数列
【答案】
注意到数列
的敛散性与正项级数
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当故若进而
时, 有
收敛必有
与同时发散；当
收敛,
即有
时
收敛；若
发散, 则有
发散
,
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散. 收敛. 证明:级数收敛, 则
令
也收敛, 其中
.
4． 设正项级数
【答案】
则, 级数的部分和为
从而级数
5．
证明:若在
则.
【答案】由题设知, 当常数. 6．
设
收敛. 证明:
收敛.
上f
为连续函数, 且对任何a>0有
, c 为常数.
时,
特别对任何x>0.今
, 则有
于是对任何a>0有
, 这里c=f（1）为
f （t ）dt=常数,
,
收敛（a n >0）.
, 由积分判别法知级数收敛, 由比较判别法知
甶D 上无界的充要条件是存在
所以
当 有
这说明, 使得
, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上
,
, 使得
, 即
【答案】因为又
7． 证明:设
收敛, 所以
则
收敛,
收敛.
使时, 有
【答案】充分性 因为这说明
在D 上无界.
在D 上无界, 所以
必要性
因为因此, 当取
时, 存在点有
8． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在
【答案】令
连续, 在（a , b ）内可导, 且有
故由罗尔中值定理知, 存在
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二、解答题
9．
为R 中的开集
，（1）对每个（2）
试证:
【答案】首先证明因
的x 存在关于
存在.
使得
根据条件（2）
令
当
时，有
取极限，根据条件（1）可得
）
.
将x 固定，由条件（1）
于是由②式知
10．试确定级数你的结论.
【答案】由
所以当x>0时级数为
由于
而
所以级数的一般项在
, 有
内不一致收敛于0, 故级数
使得当
2
为上的函数，且
中的y 一致连续.
①
（为开集），所以
；根据柯西准则，知存在. 即等
式①左端极限存在，记之为A.
其次，（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
使得
时证毕.
的收敛域. 又问:该级数在收敛域内是否一致收敛? 是否连续? 是否可微? 证明
②
收敛, 当x<0时发散, 当x=0时级数发散, 所以级数的收敛域
在时有
内不一致收敛
.
,
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