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一、解答题

1． 求极限

【答案】先求

为此令

, 取对数得lny=xlnx.而

故

再令而

（1）

由于

,

则

和

所以式（1）的极限等于0, 从而原极限=1.

2． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.

【答案】（1）设质心位置在

, 由对称性

,

（2）高为h , 底分别为a 和b

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（2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

其中 3． 设

求极限

. , 由对称性

,

【答案】因为

且

所以当时,

当

4． 求定积分

时,

则

则

【答案】作变量替换

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5

． 重排级数

【答案】注意到

存在

及

, 使得

存在

, 使得

如此下去, 存在及

6

． 试问函数

,

使得

这样得到一个重排的级数

因

使它成为发散级数.

. 均是发散的正项级数, 从而存在n 1, 使得

发散, 可得此重排级数必发散.

在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?

, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得

【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,

不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论

.

7．

设

, .

在处都取得极值, 试求a 与b ; 并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?

【答案】

, 由

得方程组

故

V

, 于是f 在

取得极小值, 在

取得极大值.

8． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

, 解得