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一、证明题

1． （1）设数列

为正的单调递减数列, 且

收敛, 证明:

收敛, 证明:

存在, （2）设数列

为正的单调递减数列, 且

【答案】（1）因为由

收敛, 可知必有

为正的单调递减数列, 由单调有界定理得

对任意存在正整数W , 使得对任意正整数p ,

在上式中, 令取极限, 则得

由的任意性, 则得

显然故有（2）因为由

为正的单调递减数列, 由单调有界定理知

存在,

收敛, 可知必有

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对任意

存在正整数N , 使得对任意正整数p , 成立

在上式中, 令

取极限, 则得

由

的任意性, 则得

显然故有

2．

设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】设

在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导, 所以知, 在（a , b ）内连续

3． 证明二重积分中值定理.

【答案】中值定理:若f 为有界闭域D 上的连续函数, 则存在

因为f 在D 上连续, 所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m , 对D 中一切点有:

可知:

在（a , b ）内递增. 设, 则

在某个内递增且以

和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限都存在. 再由导数

.

于是, 由x 0的任意性

, 使得

,

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即

再由定理知, 存在

, 使得

, 是无理数. 由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

4． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

5． 设f 是定义在

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,

且

上的一个连续周期函数, 周期为p , 证明

【答案】

及, 使得. 于是由周期函数的积分性质, 得

因

及

所以

6． 利用导数定义证明

:

【答案】

7． 证明:

【答案】令

则

于是

在

内严格递增,

.

, 故f （x ）在内严格递增.