2018年大连大学信息工程学院716数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列函数在x=0处不可导:
（1）（2）
【答案】（1）因为（2）先求
, 当
时,
. 于是
再求
, 当
时,
, 于是
因为 2． 设
【答案】由
知
且
又因为
减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到 3． 设
收敛. 令
解得, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , 上的唯一驻点. 由 知 即 数列 是单调递 证明:数列 收敛, 且其极限为 , 所以 在 处不可导. ' ； , 所以 在x=0处不可导. . 对（极限保号性） 舍去负根, 因此, 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 所以x=2是 g （x ）的最大值点. 于是 4． （1）变换x+y=u, y=uv把区域雅可比行列式 , 从而原不等式成立. 变为区域 . 试求 （ 2）取y 为因变量, 解方程 【答案】（1）方法一把x , y 写成u , v 的函数x=u （1－v ）, y=uv, 所以 逆变换的雅可比行列式为 方法二 若变换不易解出x , y 或u , v 时, 我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式, 一般来说所得行列式可以含有变量x , y, u, v. 方程组先对u 求偏导数, 得 解出 再对v 求偏导数, 得 解出 所以 （2）由（1）启发, z=z （x , y ）中把x , y看成自变量, 对x 求偏导数, 得 解出 再对x 求偏导, 得 将 代入上式, 有 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 利用条件得出 和y 取为因变量以及隐含条件 , 所以 , 由此解出 二、解答题 5． 设连续函数 【答案】 用反证法. 若（1）若（2）若（3）若存在令所以存在（4）若存在从而存在 使 则 使 使 即 那么那么 使 这与假设 类似可得矛盾 . 矛盾. 则可分四种情况讨论. 这与①式矛盾. 也与①式矛盾. ① 其值域 则一定存在 使 6． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限: （1）（2） 【答案】（1）因为所以 原式= （ 2）因为所以 原式= 7． 设 【答案】 其中, f （z ）为可微函数, 求Fxy （x , y ）.
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