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一、证明题

1． 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:

若

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当x=1时,

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

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, 则在x=1处有

2． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

为曲面S 的外法线方向余弦.

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

4． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E c 为闭集；若E 为闭集, 则E c 为开集.

c c

【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于

E 设这个聚点为A , 则必有

c

c

, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）

c

c

因此, U

（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.

c c c

（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个

点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B

）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点,

但与

是闭集矛盾, 因而,

若E

为闭集, 则E 为开集.

c

c

二、解答题

5． 考察函数

在点（0, 0）处的可微性. 【答案】

由偏导数定义知,

同理可得

由于

所以f 在点（0, 0）处可微.

6． 求摆线:

【答案】因

故质心坐标为

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的质心, 设其质量分布是均匀的.

7． 写出下列级数的乘积:

（1

）（2

）

【答案】

（1

）级数

得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

原式（2）因

收敛, 故级数

与

均绝对收敛, 按对角线相乘得

所以, 原式=

=1

8． 求下列函数的高阶导数:

（1）（2）（3）

, 求, 求

, 求

; ;

;

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与级数

在

时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,