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一、证明题

1． 设

证明:f 在D 上连续, 但不一致连续.

【答案】显然, f 在D 上是连续的, 仅证f 在D 上不一致连续.

取当

无论及

时,

从而f （x , y ）在D 上不一致连续.

2． 证明:设

则

甶D 上无界的充要条件是存在

所以

当 有

这说明

, 且满足

t

证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:

根据条件

故有

.

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取得多么小,

当

取到某个, n 时,

总能使

使时, 有

【答案】充分性 因为这说明时, 存在点

3． 设

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

有

是凸域,

必要性 因为因此, 当取

是半正定的.

.

1为任一向量, 当t 充分小时, 点

上式消去t 并令t →0, 即得

这表明矩阵

4． 求平面曲线段等长.

【答案】令所以, 曲线上任一点化简即

此切线与x , y 轴的交点分别为又因

所以, 任一点处的切线被坐标轴截取的线段等长（均为a ）.

则

处的切线方程为:

是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的.

上任一点处的切线方程, 并证明这些切线被坐标轴所截取的线

2

二、解答题

5． 考察函数

在点（0, 0）处的可微性. 【答案】由偏导数定义知,

同理可得

由于

所以f 在点（0, 0）处可微.

6． 设函数

【答案】

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7． 设

在平面上二次连续可微,

；

.

（1）用u 关于r , 的偏导数表沄

（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】

（1）（2）

8． 设

【答案】令:由

两边求导有

9． 试将下列积分用欧拉积分表示

, 并指出参量的取值范围:

【答案】（1）（2）

10．在区间Riemann 可积性.

【答案】f 于

上是Riemann 可积的. 证明如下:

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求则

由

由p+l>0得p>﹣1.

和得和.

上, 函数定义为试讨论f （x ）在[0, 1]上的