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一、证明题

1． 求平面曲线段等长.

【答案】令所以, 曲线上任一点化简即

此切线与x , y 轴的交点分别为又因

所以, 任一点处的切线被坐标轴截取的线段等长（均为a ）.

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

3． 设

【答案】

同理，

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上任一点处的切线方程, 并证明这些切线被坐标轴所截取的线则

处的切线方程为:

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

收敛，所以

，因为从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时

，

由于

，c 为常数

，

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.

，证明:

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所以

4． 设f （x ）为[a, b]上连续函数,

且对任一满足

有

【答案】令

>

则g （x ）在[a, b]上连续, 且

,

由题设有

于是

从而即

为常数.

, 证明

f （

x ）为常值函数.

的连续函数g

（X ）,

二、解答题

5． 设

求证: （1）（2）

与

存在;

在（0, 0）点不连续;

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（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微.

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【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出

; 同样因f （0, y ）=0, 得.

令y=x,

故

在（0, 0）点不连续. 同理可知

在（0, 0）点不连续. （3）由于’

按微分定义, 函数在（0, 0）点可微, 且导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件.

6． 己知球半径为r , 验证高为h 的球缺体积

【答案】这个球缺可看作由曲线其体积可由旋转体体积公式

7． 求由分的区域, 则

作广义球坐标变换:

求得

.

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

是有界变量, 当

或

时, x 是无穷小量, 所以

可见偏

绕x 轴旋转而成.

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、

故

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