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2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研仿真模拟题

  摘要

一、计算题

1. 已知平面区域

【答案】

, 则

,计算二重积分

因为区间[

]关于原点对称,上式中关于的被积函数为偶函数,所以

因为

所以

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2. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

【答案】设级数的部分和为S n 。 (1)因为

所以根据定义可知级数(2)由于

发散。

从而

所以根据定义可知级数收敛。 (3)由于

从而

因为当(4)

时,

的极限不存在,所以S n 的极限不存在,即级数发散。

故级数发散。

3

3. 一物体按规律x=ct作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由x=0移到x=a时,克服介质阻力所作的功。

【答案】速度为

,阻力为

,由此得到

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设当t=T时,x=a,得,故。

4. 利用格林公式,计算下列曲线积分:

(1

的三角形正向边界; (2

(3)由点(0, 0)到

(4)的一段弧。

【答案】(1)设D 为L 所围的三角形闭区域,则由格林公式,

(2)由于

故由格林公式得(3)由于

在xOy 面内具有一阶连续偏导数,且

故所给曲线积分与路径无关,于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ,其中O 为为

,N 为

,得

(图)

R

的一段弧;

其中L 是在圆周

由点(0, 0)到点(1, 1)其中L 为在抛物线

其中L 为正向星形

线

其中L

为三顶点分别为

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