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一、计算题

1． 画出下列曲线在第一卦限内的图形：

【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示

图1 图2 图3

2． 设正项级数

和

都收敛，证明级数

收敛，故有从而

故由比较审敛法知

收敛。

也收敛。

由极限定义知，存

【答案】根据题设条件知级数在正函数N ，当n ≥N 时，有

3． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：

【答案】（1）

当p>1时，

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收敛；当时，

是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；

当

，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当

条件收敛；当

（2

）

收敛，即原级数绝对收敛。 （3）

则

而级数

发散，由极限形式的比较审敛法知

发散，而

时，级数发散。

而级数

时，由

于时，级数

收敛，

由比较审敛法知

是交错级数且满足

莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。

（4）

则

由比值审敛法知

收敛，即原级数绝对收敛。

4． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。

【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为

因此

，其中

，把该力分解，得到x 轴、y

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图

5． 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积:

（1）D

是由曲线域;

（2）D 是由曲线

【答案】（l ）令与D 对应的

平面上的闭区域为

，则

。在这变换下，。

所围成的第一象限部分的闭区域.

所围成的第一象限部分的闭区

于是所求面积为

（2

）令

这变换下，与D 对应的

，

则

平面上的闭区域为

。在。又

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