2017年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即则
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是生32万元改变。
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
，将
代入到C （x ，y ）中
，故代入求得和
，所以可得
，即
。
。
。
（万元/件）与
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发
2． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
3． 已知动点M （x ，y ，z ）到xOy 平面的距离与点M 到点（1，﹣1，2）的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
【答案】根据题意知
即
4． 把积分
化为三次积分，其中积分区域是由曲面
及平
面y=1，z=0所围成的闭区域。
【答案】为一曲顶柱体，其顶为
2
，底位于xOy 面上，其侧面由抛物柱面y=x
为点M 的轨迹的方程.
及平面y=1所组成。由此可知在xOy 面上的投影区域
因此
5． 利用定积分的几何意义, 求下列积分:
【答案】（l ）根据定积分的几何意义,
表示的是由直线y=x, x=t以及x 轴所围成的直
, 故有
以及x
角三角形面积, 该直角三角形的两条直角边的长均为t , 因此面积为
（2）根据定积分的几何意义,
表示的是由直线
轴所围成的梯形的面积, 该梯形的两底长分别为因此面积为21。故有
（3）根据定积分的几何意义,
。
表示的是由直线
, 梯形的高为,
以及x 轴所和x 轴所围
围成的图形的面积。该图形由两个等腰直角三角形组成, 分别由直线成, 其直角边长为1, 面积为
由直线y=x, x=2和x 轴所围成, 其直角边长为2, 面积为2。因此（4）根据定积分的几何意义, 半圆的面积, 因此有
6． 求函数
【答案】
在点
表示的是由上半圆周
以及x 轴所围成的
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
7． 根据导数的定义，求
的导数。
时，
8． 化二重积分
，其中积分区域D 是: 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）
在处沿的方向增加
【答案】由导数的定义知，当
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