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一、计算题

1． 求曲线

【答案】

，即2x-y=0，法线方程为（x-0）

上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。

0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。

2． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?

【答案】己知圆柱形油罐的表面积

令由此时

, 即

:

, 得

,

, 知

为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。,

所以当底半径为

和高

时, 才能使表面

, 即

积最小。这时底直径与高的比为1:1。

3． 利用极坐标计算下列各题:

（1）（2）内的闭区域;

，其中D 是由圆周

，其中D 是由圆周

所围成的闭区域;

及坐标轴所围成的在第一象限

（3

），其中D 是由圆

周

所围成的在第一象限内的闭区域。

及直

线

【答案】（1）在极坐标系中，积分区域，于是

（2）在极坐标系中，积分区域，于是

（3）在极坐标系中，积分区域

，于是

4． 曲线弧

上哪一点处的曲率半径最小? 求出该点处的曲率半径。

【答案】

曲线

的曲率为

由

当时, ； 当时,

；

因此

为K 的极大值点。

又驻点惟一, 故极大值点也是最大值点, 且K 的最大值为

此时曲率半径径为

，其中区域D 由曲线

令

，得

6． 求由

所决定的隐函数对x 的导数

与极轴围成.

最小,

故曲线弧

上点

上的曲率半径最小且曲率半

5． 计算二重积分

【答案】

【答案】方程两端分别对x 求导, 得

7． 求下列常系数线性微分方程组的通解：

（1）

（2）

【答案】（1）记则有

方程组可表示为