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一、证明题

1． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、

下确界, 则必存在某实数【答案】

设

,

, 由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

, 从而对任何实数

若令

2． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】（1）设P 为于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设设使得

即为开集,

则有'

且为闭集. 也为闭集.

有

由于

或从而有使得

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,

使得

,

.

因

,

, 所以

有

均有

, 则得

, 则

,

且

.

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项, 不妨设

从而P 为F 1的聚点

.

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

不妨设 , 因此

为开集.

则存在点A 的某邻域U （A ）使得

也存在点B 的某邻域

为开集, 则存在点B 的某邻

因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

其中使得

（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

3． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

收敛, 并且其和小于1. 为闭集

为开集.

c c

, ,

从而

又

所以级数

收敛, 并且其和小于1.

4． 设f （x , y ）为连续函数, 且f （x , y ） =f（y , x ）. 证明:

【答案】令x=1—u , y=1—v , 则

, 所以

二、解答题

5． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:

（1）L :连接 A （a , a ）, C （b , a ）的直线段;

（2）L :连接A （a , a ）, C （b , a ）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:

【答案】曲线如图所示,

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图

（

1）直线段

L （

AC ）的方程

y=a,

所以

（2

）

6． 求下列函数的周期:

（1） （2） （3） 【答案】（1）（2）由（3）

的周期是可知, 的周期

的周期

的周期是

.

都是[a, b]上的单调函数, 则级

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29

页

故的周期是

的周期的周期是

4和6的最小公倍数是12,

故

7． 设数

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个