2018年新疆师范大学数学科学学院717数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列不等式:
（1）（3）
【答案】（1）因为续, 且不恒等于1或
, 所以由积分不等式
即
（2）因为在[0, 1]上, （3）由于在
上,
, 且函数不恒等于1和e , 所以有
, 所以有
（4）设大值点,
而可导函数惟一的极大值必为最大值, 所以又
从而 2．
使得
【答案】根据题意, 易知
满足
则
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（2
）（4）（
, 函数
在
上连
,
则, 得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为. 可验证它是极
为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值,
, 故
在[e, 4e]上的最小值,
, 且, 由此得
证明存在非负单调数列
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显然由⑴若若①当
②当（2）若①当
使得
②当存在
使得
综上所述, 存在
使得使得时, 取
时,
必有
时, 必有使
得再由
结论得证.
3． 证明下列数列极限存在并求其值:
（1）设（2）设（3）时成立,
则再证设解得
或递增,
在等式
因为
由数学归纳法知
. 因此两边取极限得, 由保不等式性可知
有上界2. 当
【答案】（1）先用数学归纳法证数列
在某
.
又
在某
又
则, 则
.
, 若
则
时, 由于.
则由推广的罗尔
定理知, 存在, 使得
, （或者用保号性及介值定理, 存在
处达到最大值
, 又
处达到最小值,
（或者用保号性及介值定理, 利用推广的罗尔定理, 存在> 利用
推广的罗尔定理, 存在
使得
这样继续下去, 得到存在非负的单调增数列
时, 显然成立, 假设
有上界2.
单调递增. 根据单调有界定理, 极限
即
&
存在.
（2）首先证明数列是单调的.
所以数列再证明数列要满足两个条件:①可猜想数列
有上界是递増的.
是有上界的. 先猜想
②
即, 当
, 再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）
由于
时, 显然
的根为
因此,
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假设n=k时成立, 则n=k+l时,
即因为
有上界. 由单调有界定理知, 数列
解得因此
所以
的极限存在. 设
其中
时,
由
由迫敛性得
可知
因此
, 对
两边取极限得
（3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当
4． 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的, 并且每当固定x 时f 对y 是单调的, 证明:f 是R 上的 二元连续函数.
【答案】设从而 对于点
故对上述的 令
则当及存在
使
时,
f x , y ）时, 由于（关于y 单调, 所以有
于是由①、②、③知:
故当
因此. f（x , y
）在点数.
时,
就有
处是连续的. 由点
的任意性可知f （x , y ）是内的二元连续函
②
③
在
为函数f （x , y ）的定义域内的任意一点. 由于f （x , y ）关于y 连续, 连续, 故对任给的
存在
使当
由于f （x , y ）关于x 连续, 从而
时, 就有
①
在连续,
2
二、解答题
5．
为R 中的开集
，（1）对每个（2）
的x 存在关于
2
为上的函数，且
中的y 一致连续.
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