2018年西南交通大学数学学院625数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 对
【答案】令因此
9
故
2． 设
【答案】设时,
有
取由此推出, 当 3． 设
【答案】
故
4． 证明:
（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】（1）设P 为于是也有
为闭集
.
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应用拉格朗日中值定理, 试证:对x>0有
, 则
, 对
应用拉格朗日中值定理得
, 且, 因为又由
于
当
时
证明:存在正数N , 使得当
所以
由于对
于时, 同时有故当
时, 有
在x=0连续, 但g 在x=0不连续. 时, 有对于存在正整
数
存在正整数化
, 使得
当
使得当时,
有
, 证明:复合函数
在x=0连续. 由
, 可知g 在x=0不连续.
与与
都为闭集； 都为开集； 为闭集
为开集.
的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列
中的无限多项, 不妨设
从而P 为F 1的聚点
.
因而F 1和F 2至少有一个集合含有
同理可证（2）设设使得
为开集,
则有'
也为闭集.
有
且
由于
或从而有使得
使得
不妨设
, 因此
为开集.
则存在点A 的某邻域U （A ）使得
也存在点B 的某邻域
其中
为开集, 则存在点B 的某邻
因此, 存在点B 的邻域所以
为开集.
（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知
为闭集
为开集.
c c
, ,
二、解答题
5． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分:
（1）（2）
【答案】（1）曲线的参数方程为时, 点（x , y , z ）依次经过1, 2, 7, 8卦限, 于是
（2）记球面L 3, 如图所示, 则
与xy 平面的交线为L 1, 与yz 平面的交线为L 2, 与zx 平面的交线为
其中L 为
与y=z相交的圆, 其方向按曲线依次经过1, 2, 7, 8卦限;
其中, L 为球面
在第一卦限部分的边界, 当从0增加到27c
曲线, 其方向按曲线依次经过xy 平面部分, yz 平面部分和zx 平面部分.
图
设
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依
同理,
所以
6． 设
极大值还是极小值?
【答案】
,
由
得方程组
故
V
7． 试问下列等式是否成立:
（1）（2）
【答案】（1
）对于任意一个函数
由于
（2
）因为
的, 故等式不成立.
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在, . 处都取得极值, 试求a 与b ; 并问这时f 在x 1与x 2是取得
, 解得
, 于是f 在取得极小值, 在取得极大值.
的反函数
当x
属于
的定义域时,
总有
的定义域为R , 故等式成立. 的值域是
所以等号左边的值是有界的, 而等号右边的值是无界