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一、证明题

1． 证明:函数f （x ）在区间上一致连续的充要条件是:

, 只要

【答案】只要

,

. 对上述,

从而, 尽管

相应地存在但

2． 证明:若正项级数

满足

矛盾.

收敛, 且数列

单调, 则

, 存在N , 当n>N时, 有

故

从而

又从而

3． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在

【答案】令

连续, 在（a , b ）内可导, 且有

故由罗尔中值定理知, 存在

4． 证明曲线积分的估计式:

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, 就有.

因为f （x ）在上一致连续, 所以

, 就有

, 当nN 时, 有

, 由

可知

, 此即为

. 取

显然,

,

用反证法. 函数f （X ）在上不一致连续可表述为:

但

【答案】因为正项级数又由

单调可知

收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数

发散）, 从而

必单调递减（否则级数

, 故

, 使得

, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上

,

, 使得

, 即

其中

L 为AB 弧长

,

利用上述不等式估计积分

并证明.

【答案】（1）因

且

从而

（2）因

由（1）知

由于

故

二、解答题

5．

下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:

表

（1）按积分平均（2）若按算术平均平均各有什么联系? 简述理由.

【答案】（1）用矩形法公式计算:

用梯形法公式计算:

用抛物线公式计算:

第 3 页，

共 25 页

求这一天的平均气温, 其中定积分值由三种近似法分别计算; 或

求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分

（2）按矩形法计算有

（这里只考虑第一种情形）. 由此可见, 按算术平均

求平均值与矩形法积分平均是完全相同的. 而与梯形法不同.

在梯形法中, 要用到13个函数值, 并且第一个和最后一个具有较小的权（它们的系数为, 而其余函数值的系数为1

）.

6

． （1）问

【答案】（1）因为

从而

即f （X ）是以1为周期的周期函数, 其图像如图所示.

图

（2）不一定 例如, 函数 7．

设函数（f x ）

在

只要对固定的故对上述则当nN 时

, 有

, 记n=[x]2N, 因为

即

由式（1）, 有

, 故

, 使得

. 再由式（2）, 有

艮P

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是否是周期函数？并画出它的图形（其中

, 所以

:表示x 的整数部分）

;

按

的定义, 即得

（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？

就不是周期函数. 上一致连续, 且就有

, 取

且为正整数, 将[0, 1]区间k

等分.

记分点

由已知条件,

对每个

,

当nN 时, 有

. 令

有

,

,

,

有

. 试证:（n 为正整数）

,

,

【答案】因为f （x ）在上一致连续, 所以

则每个小区间的长度

,