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一、证明题

1． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且

, 又若

【答案】假设对任意的

, 使与

均有

, 则在（a , b ）上至少存在两点

, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？

f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或

, 这与

矛盾. 故至, 使

内恒正或恒负. 于是,

根据积分不等式性质有

少存在一点

且f （x ）在

假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则

每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有

在两边也异号. 所以

在两边同号,

但

由此知f （x ）在两边异号. 又函数

即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得

矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点

假设在（a , b ）内只两点

,

, 使得

, 则

即

, 且f （x

）在

, 使得

下证若

则f （x ）

每个区间内不变号. 从而由

推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得

即

, 其中

, 所以由上式知,

f x ）从而知（在在

. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）

内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在

但

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. 因为

与由于

每个区间内恒异号,

f x ）f x ）两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间

正. 又h （x ）是连续函数, 所以

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矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点 2． 设

【答案】根据题意可知

又

所以从而设

3． 证明

是R 上的有界函数.

于是,

故

是R 上的

【答案】由平均值不等式可得有界函数.

4． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

【答案】因为f （x ）在

点x 0连续, 所以对任给的时,

（1）由不等式故（2）由（3）当

. 即

知, 由在点x 0连续.

在点x 0连续.

, 则

与

为

时,

, 而|f|在x 0连续, 故

存在

, 使得当

单调递增有上界

由单调有界定理知极限存在.

两边取极限得

解得

即

证明

:极限

存在并求之.

使得

与也在点x 0连续.

又问:

若或在Ⅰ上连续,

那么f 在Ⅰ上是否

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.

二、解答题

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5． 计算积分

其中D :

•

是关于y 的奇函数, 故

作极坐标变换:

, 则

6． 试求下列方程所确定的函数的偏导数

（1）（2）

【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称, 而

【答案】（1）把u 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得

所以

同理两边对y 求偏导数得

（2）两边对x 求偏导数有

所以

两边对y 求偏导数, 得

故

7． 设f （x , y ）是区域

问极限

. 上的有界k 次齐次函数（k ≥1）， 是否存在? 若存在，试求其值.

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