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一、证明题

1． 举例说明:若级数

对每个固定的p 满足条件

此级数仍可能不收敛. 【答案】如级数

，若p 为某一个固定的数，则

但级数发散.

2． 设f 为可导函数, 证明:若x=1时有

, 则必有

或

.

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时, 得

即

故

或

.

3． 证明:若f , g均为区间I 上凸函数. 则

也是I 上凸函数.

【答案】因为f , g 均为区间I 上的凸函数, 所以对任意的

及

, 总有

, , 由于. 因而

于是

由式①〜式④得

即, 故F （x ）是I 上的凸函数

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①

②

③

④

4． 用方法证明:

【答案】令∴

取

则当

时

, 有

即

二、解答题

5． 求由下列曲线所围的平面图形面积:

（1）（2）（

3）

【答案】（1

）令

, 故

从而

x+y=a变换成u=a, x+y=b变换成u=b, y=ax变换成（2）令变换成

即

所以曲面面积为

（3）令当

时,

则

即

从而方程

变换成

, 由图形（如图）的对称性可知图形面积:

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变换成

所以图形面积

, 则从而方程

图

6．

计算广义三重积分

其中D 为

【答案】

作变换

:

.

, 则

I

所以

其中为再作球坐标变换

则

且

. 而

故

其中作变换:

, 则

第 4 页，共 29

页

.

. 由上式可见, 积分是存在的, 下面展开计算.