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一、证明题

1． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.

【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.

设

为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在

的子列

满足

则

从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，

知在 2．

设

是周期为

的连续函数，且其傅里叶级数

处处收敛，求证这个傅

里叶级数处处收敛到

【答案】设

由条件知由费耶定理，知故

3． 证明:黎曼函数

在k 个，记为

作

的分割

使其满足

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存在一个使的

它必有聚点

存在. 并且对

’

时，在

连续. 由

存在

的任意性，知

使得

令上述

即当

是F 上的连续函数.

由

时

，

连续，

当从而

利用极限的性质，得一致收敛于收敛于

所以

上可积。

在

上使得

的点至多有有限个，不妨设是

【答案】由黎曼函数的性质，

由于

而在上式右边第一个和式中，

有

所以

有

由第二充要条件，黎曼函数在

上可积.

且

在第二个和式中，

有

且

4． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。

【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点

使得

假设方程

性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点盖

.

与

在形成

内无实根，

则对每一点

使得

在

有

由连续函数的局部保号内保持与

相同的它的

的一个开覆

存在x 的一个邻域

上连续，且

与

异号，则至少存在一

的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间

以此类推，经过有限次地向右移

这n

个开区间显然就是

与与

的符号. 以此类推，

使得

具有相同的符号.

因为

具有相同的符号. 这与

把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为

使得

在

内也具有

在每一个所以

内保持同一个符号.

在

内

动，

得到开区间

异号矛盾. 故至少存在一点

二、解答题

5． 在什么条件下，函数

【答案】（1）设c=0,

此时

见，当c=0时，当且仅当

（2）设

此时

的反函数就是它本身？

要使反函数存在必有

或

的定义域为

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函数

的反函数是

它们是同一函数的充要条件是即（a+d）（a —d ）=0, b （a+d）=0.可

时，它的反函数就是它本身.

要使它的反函数存在，必须有除当成立.

综上所述，当且仅当就是它本身.

6． 一物体在某介质中按移至

【答案】

它的反函数是等式由此可知，当

要对时，当且仅

时也的反函数

外的一切实数成立. 去分母后，再比较x 的系数，得到

时，它的反函数就是它本身. 另外，注意到在情形（1）中，

并且a+d=0或

时，函数

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

时克服介质阻力所作的功。

其中

故

7． 对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的. 请举一反例予以否定：

（1）设（2）设（3）设（4）设可导.

而

题设矛盾.

（3）命题错误.

如取但

处处不可导. （4）命题错误.

如取

导，

而

在可导.

8． 利用归结原则计算下列极限：

【答案】⑴令

则有

由归结原则，得

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若f 在点可导，则在点可导；

一定不可导；

若在点可导若在点可导在

在点不可导，则f 在点

在点可导；

若f 在点可导，则

在点不可导，则f 在点一定不可导.

则也可导，则

在

处

【答案】（1）命题错误.

如取

处都不可导.

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点可导，又因在点

在也可导. 这与

处处可导.

在

不可

，

则（狄利克雷函数）则

在

可导