当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：函数

【答案】因为

所以

2． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均

不

是则

为

的聚点，

则

使得

由于在

3． 设

【答案】已知

且满足

.

即

证明

:

有下界又由

可推出

若

则

即

单调递减. 由单调有界定理，在不等式

存在，记为

可知

矛盾. 由此可见

的极限存在，并求出其极限值.

中至少有一个聚点.

. 为有限点集

所以由上式知为有限点集，与假设矛盾. 故

使

得

为有限点集.

记中有限个邻

域

显然若有聚点，则必含吁

中. 假设

为常数) 满足热传导方程：

的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存

在

两边，

令

再在不等式

中，令可得

4． 证明

：

【答案】令

其中

因为

所以函数

所以

在即

上是凸函数. 因此

而

即

解之得

二、解答题

5． 直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受浮力。

【答案】如图所示，球面在水深x 米处所受压力的微元为

故球面所受总压力为

由力的平衡可知，球面所受浮力为

图

6． 指出下列函数的间断点并说明其类型：

【答案】（1）f （x

）仅有一个间断点

因为

所以

为第二

类间断点.

（2）f （x ）仅有一个间断点x=0。因为

所以x=0是f （x ）的第一类间断点且为跳跃间断点. （3）

是

该函数的可去间断点. （4）

（5）因为

故

而

于是

为该函数的可去间断点.

其中

因为

而

所以

其中又因为

所以. （6）当所

以

（7）

为函数的第一类的跳跃间断点.

时，存在有理数列

而都不存在. 所以当

时故

和无理数列

使得

由

于

根据函数极限的归结原

则的第二类间断点

.

是函数的第二类间断点. 为函数

于是

7． 设有一半径为R 的球体，离的平方成 正比(比例常数

故是函数f （x ）的第一类的跳跃间断点.

的距

是此球的表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到) ，求球体的重心位置.

以的球心为坐标原点0, 射线

【答案】方法一记所考虑的球体为为x 轴的正向建立坐

标系，则点的坐标为(R ，0，0) ，球面方程为

密度函数为

设重心坐标为

由对称性可知，