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一、证明题

1． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.

【答案】反证法. 假设且n>1，

使得是

是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，

由此得

是无理数.

证明：函数

也

由于

所以存在质数

于

于是

这与m ，n 互质矛盾，所以

2． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.

【答案】设而由

则

及

注意到

则有

即v 也满足拉普拉斯方程.

3． 设为使

【答案】

先证

在则存

在

(

使得

矛盾，故原命题得证。

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上的二阶可导函数，若在上有界，则存在

上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，

假设恒有

使

得

介

于

设

由泰勒定理得

，

这

与

使

使得

在则存在

这与假设

之间) . 于

是

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在

对

应用达布定理可知，存在

4． 证明：

【答案】将原不等式变形为

成立.

这样就将问题转化为求令

在区域上的最大值.

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

即

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

和

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

二、解答题

5． 求下列极限（其中n 皆为正整数）

.

.

【答案】

（4）由公式

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（5）由迫敛性知得

6． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则

【答案】

因

则

7． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。

【答案】

可知，当

故

时，有

当

时，有

根据

是此函数的第二类间断点，但它有原函数

另外，狄利克雷函数

8． 利用定积分求极限：

【答案】（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：

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其定义域R 上每一点都是第二类间断点，但无原函数。