2017年北京师范大学数学科学学院762数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
求证
注意到
则有
2． 设f (x ) 在[0, 2]上二次可微，且
证明：【答案】
3． 证明：曲面
续可微，常数a ，b ，c 不同时为零.
【答案】记
则
于是曲面F (ax-bz , ay-cz ) =0上任一点的法向量为
n 与某直线方向向量或
于是
当
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【答案】不妨设
上任意一点的切平面都与某一定直线平行，其中函数F 连
垂直当且仅当即
满
足时恒
有取1=(b ，c , a ) ，则曲
面
上任一点的切平面与1平行。
4． 设
证明:【答案】记
为的代数余子式
于是
因
对一切的
都成立. 所以
二、解答题
5． 试将
【答案】设又
按
的幂展开成幂级数. 则
故
所以
由
即
可得
所以
6． 计算第二型曲线积分：
其中A (1，1) ，B (2, 4) 分为两种情况： (1) (2)
为连接A ，B 的直线段； 为抛物线
所以
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【答案】(1) 直线段的方程为
(2)
7． 应用格林公式计算曲线积分一段.
【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线，不能应用格林公式，加上从线段
则有
其中D 为封闭曲线
所围成的区域，由极坐标变换，
即原积分
8． 求常数成立.
【答案】令
由题知所考虑的积分在上半平面内与路径无关，所以
即
故
9． 设函数
在
上连续，且
求证：在【答案】令
内至少存在两个不同的点
则有
所以存在
恒为 负，都与
矛盾. 又当
时，
故
于是
在
上有三
使得
因若不然，
则在
内或
恒为正，
或
|使
又因为
使曲线积分
(其中
) 对上半平面内任何光滑闭曲线L
的直
其中L 为上半圆周
从
到
的
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