当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

与

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

故若又有

故若同.

2． 设为

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散. 由上可知两级数的敛散性相

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散.

为递减的正项数列，

【答案】设级数故

级数

上以p 为周期的连续周期函数，证明对任何实数a , 恒有

【答案】

令

故有

3． 设

【答案】令

求证

：

显然有

则

于是

从

而(常数) ，

令

得

4． 设二元函数

证明：对任意

在区域

成立

第 2 页，共 25 页

上可微，且对

有

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

与之间，介于

与

之间.

二、解答题

5． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性：

(1) (3)

【答案】(1) 方法一 易知当由于

(2)

(4) 时，

所以当n>e时有

即

在(0, 1) 内单调递减且

于是

故方法二

在(0，1) 内一致收敛.

的极限函数当

切0

于是

故(2) 易知当而

所以(3) 令

由于

在[0, 1]上不一致收敛.

在(0，1) 内一致收敛.

时，

时恒有

取

因为

则当n>N时有

则

因此对一

第 3 页，共 25 页

所以

从而

故(4) 易知当

在

上一致收敛. 时，

当

时，对任意正整数N 都有

当

时，

因为综上所述，

所以存在正整数

存在正整数

当n>N时有当n>N时，

故

在

内一致收敛.

6． 求下列极限：

【答案】（1）极限

所以，

（2）当（3）由于

时

，

所以

：不妨设

则

所以

第 4 页，共 25 页

即

都有

由f （X ）在其有定义的邻域内的值来决定. 而当时

，