2017年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数
都有
证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的
故f 在I 上一致连续.
2． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若
【答案】由复合函数求导法则可得
由
得
故当X=1时
3． 设
为无穷小数列，
为有界数列，证明：存在正整数N ,
当所以
4． 设f 在
(2
)
【答案】(1) 由得
并且对一切
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使得对上任意两点
取则当
且时，有
则在处有
为无穷小数列.
又因为
为无
时，
有为无穷小数列.
证明：
因此，当n>N时
，
【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有
故有
穷小数列，
所以对任给
连续，且对任何
(1) f 在R 上连续；
可知
于是
由f 在x=0连续可
故f 在R 上连续. (2) 对整数
有
所以
于是对任何有理数r 有上连续，有
对任何无理数
故对任何
存在有理数列
使
由f 在R
二、解答题
5． 计算
：
，其中为
中
的部分.
【答案】化简并利用高斯公式得
y
6． 讨论下列函数的连续性与可导性
.
【答案】对
对任一无理数X 均有同理，对
当
时，由于
取
在
所以f
在所以€在_
内对任一有理数均有处都不连续，当然也不可导. 处连续，但由于
在对
时极限不存在，因而f
在由于
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在处也不连续、不可导.
处不可导.
所以当然g 在处也连续.
7． 讨论下列问题：
（1）
在点
的可导性，其中
（2）（3）的点.
【答案】（1）因为
故由于
故
（2）因为
所以因
在点只在点
可导，且
都不连续，从而
在点
不可导.
不存在.
则
在点
可微，但在
的任何一个邻域内有不可微
连续，在其他任一点
（3）因为
故取
因为
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