2017年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
则线性方程组（ ）•
【答案】B 【解析】
【答案】（A ）
二、分析计算题
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6． 设成与
【答案】记用
是方程的多项式.
因为
表示
的根，证明
：
是
的对称多项式可以表的根，所以
的初等对称多项式：
的初等对称多项式
的任一对称多项式
的多项式.
是
可以表成
与
则于是
因此由第一式逐步递推，
可知
的多项式
.
因而是
7． 设A 是
的多项式
矩阵，如果对任一 n 维向量 都有
都有那么
它们都是
即
使
的解，因而是基础解
中的未知数也是n , 故秩
是一实二次型，若有实n 维向量
使
经非退化线性替换
【答案】取n 维向量空间中n 个单位向量系. 它有n 个向量，
8． 设
证明：必存在实n 维向量【答案】设化为规范形
因有
使
故正惯性指数令
代入
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又因有使故负惯性指数即
得一个实向量就满足