2017年聊城大学数学科学学院814高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设
又
为空间的两组基，且
所以A 的特征值为3，3，0；而
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
5． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
由②有
【答案】（C ） 【解析】设
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
二、分析计算题
6． 设T ，S 为线性空间
的如下两个变换：
证明：对任意正整数k 均有
【答案】T , S显然都是
的线性变换. 又因为
故
假定（1）式对后成立，下证对
即成立：
故（1）式对任意正整数k 均成立.
7． 化二次型
【答案】解法1 配方法（略）. 解法2
的矩阵为
因为
为标准形，并给出所用的非退化的线性替换. 时（1）式成立.