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一、选择题

1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

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中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

则A 与B （ ）.

使

且由①式得

因此A 与B 合同. 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

所以A 的特征值为3，3，0；而

则A 与B （ ）.

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时，

5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

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6． 证明：如果

的

最

大

公

的最大公因式存在，那么

因

式

也

存

在

，

且

再利用上式证明，存在多项式使

【答案】记

根据定义，有

并且如果

那么因此

如果

那么

因而

又因为即

再由

及

及

分别是

使得

于是

令

即有

7． 设向量组

【答案】取

的秩为r ，在其中任取m 个向量的一个极大线性无关组

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的首项系数为1，那么，根据定义

及的最大公因式.

故有

证明：此向量组的秩

：

把它扩充成

的一个