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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

3． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

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【答案】（C ） 【解析】设

使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

二、分析计算题

6． P 是数域

，

E 是单位阵，且AB=A-B, 证明：

【答案】（1）

（2）由上一问题得

两边消去E 得AB=BA.

7． 设A 为n 阶方阵. 证明：

【答案】设

由定理可得，

又因n=r（A-E-A ）≤r （A-E ）+r（A ），故r （A ）+r（A-E ）=n. 反之，设r （A ）+r（A-E ）=n.得：

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于是必

8． 设

【答案】设

证法I 由上知但因为

又因为

故

故（可令

首系数是1，故

下再证

因为

故

即（24）式成立. 的公因式，且存在多项式

又因

故由互素性质知

与

从而存在多项式u , v使

的任何公因式都是

：的因式. 因此，

是

使

证法II 由（25）知：

其中

首系数是1）. 从而

证明：

（26）与（27）式两边相乘后可知，与

9． 设性无关，则交

的最大公因式，即（24）式成立.

其中

的维数等于齐次线性方程组

均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线

的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得

由于（5）是

元线性方程组，又

=方程组（5）系数矩阵的秩，

故由（6）知，

10．计算n 级行列式

维数=（5）的解空间维数. 的值，其中

维数为S ，

维数为t. 又因为

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