2017年聊城大学数学科学学院814高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
2． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设
所以向量组
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
线性无关. 是
的基础解系，
为任意常数，
线性无关.
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 证明：正交矩阵的实特征根为±1.
【答案】设A 是一个正交矩阵，于是
因为 7． 设
又
为A 中的
元素在
中的代数余子式，试求
所以，
得出„
即
是A 的一个实特征根，是对应于
的一个特征向量
.
【答案】解法1:因为
所以A 可逆. 又
所以即
解法2:同解法1，
又因为
从而
所以
从而