2017年湖南科技大学建筑与城乡规划学院615高等数学A[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设
，求以a ＋2b 与a －3b 为边的平行四边形的面积.
【答案】根据向量积的几何意义知以a ＋2b 和a －3b 为边的平行四边形的面积
2． 计算曲线积分
，其中L 为圆周
，L 的方向为逆时针方向。
，Q （x ，y ）均无意义。现取r 【答案】在L 所围的区域内的点（0，0）处，函数P （x ，y ）
为适当小的正数，使 圆周l （取逆时针向）:x=rcost，y=rsint（t 从0变到27t ）位于L 所围的区域，可应用格林公式，在D 上，有
内，则在由L 和1所围成的复连通区域D 上（图）
图
于是由格林公式得
从而
3． 作适当的变换，计算下列二重积分:
（1
）
, 其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点
是
;
（2）象限内的闭区域:
（3）（4）
, 其中D 是由x 轴、y 轴和直线x+y=1所围成的闭区域;
, 其中
【答案】（1）令
，则依次与
成
平面上与D 对应的闭区域于是
的边界。
（图）
。在这变换下，D
的边界
对应。后者构
。
其中D 是由两条双曲线xy=1和xy=2，直线y=x和y=4x所围成的在第一
图
又
因此
（2）
令
，
则依次于u=1，
对应，后者构
成
。在这变换下，D
的边界。于
是
的边
界
平面上与D 对应的闭区
域
（图）又
因此
图
（3）令u=x+y，v=y，即x=u-v，y=v，则在这变换下，D 的边界y=0，x=0，x+y=1依次与v=0， u=v，u=1对应. 后者构成
平面上与D 对应的闭区域
的边界，于是
又