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一、解答题

1． 由拉格朗日中值定理, 对

求证:

.

, 使得

方法一:用带皮亚诺余项的泰勒公式, 得

于是

即

即得方法二:由

.

解出

. 由洛必达法则及

【答案】

2． 求下列级数的收敛域.

（1）（2）（3）

.

. 因为

而

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, 得

, k> 1为整数;

【答案】（1）记

所以

令当

, 解这个不等式可得时, 级数变为

. 易见其通项

所以原级数在域为

（2）令

, 则原级数化为

. 易知它的收敛域为（-1, 1）. 令

.

, 解之可得x>1或

处收敛; 类似的讨论可知, 原级数在

处也收敛. 故原级数的收敛

x<-1, 即原级数的收敛域为

（3）用根式判别法

.

, 欲使P<1, 必须

.

当时, 级数变为, 显然发散. 故原

级数的收敛域为（-1, 1）.

3． 设f 是一元函数, 试问应对f 提出什么条件, 方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设且

因此只需

在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当

时,

方程

在

x=l的某邻域内连续, 且

4． 计算积分

就能惟一的确定y 为x 的函数.

, 则

其中D :

•

是关于y 的奇函数, 故

作极坐标变换:

, 则

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【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称, 而

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5． 利用微分求近似值

:

（1）（2）（3）

（4）则

即

（2

）令

由（3）令所以

（

4

）所以

6． 设函数

【答案】

,

令. , 求

,

, 则

,

,

. ,

,

则

得

, 则

.

,

,

,

,

【答案】（1）令

二、证明题

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