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一、证明题

1． 证明：函数项级数

【答案】由于收敛.

对任意的的所以

在

，存在

有

使得

由于对任意

, 且由根式判别法易知

上一致收敛，

收敛，

在

上不一致收敛，但和函数在，所以

不一致收敛于0，从而

上无穷次可微. 在（0，+∞）上不一致

从而用数学归纳法可得和函数在X 0上无穷次可微. 由X 0的任意性可知和函数在

2． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

则F （x ）, G （x ）在又因为

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

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上无穷次可微.

, 使得

上满足柯西中值定理的条件, 于是存在

, 使得

应用柯西中值定理可得, 存在,

因此

3． 设y=f（u ）在[A, B]上连续,

证明:

,

当

因此作[a, b]的分割之后, 在则只要从而

由此知, 在

上, 若

必有

, 故

这样,

条件的

必要性对上述的

和>0, 分割T , 使得

于是由式（2）知

最后由第三充要条件的充分性即知, F （x ）在[a, b]上可积.

4． 证明:（1）若函数f （X ）, g （x ）连续, 则函数

也连续;

（2）设

令函数f 的值f （x ）等于三值证明:f 在[a, b]上连续; （3）令

f （X ）为实函数.

证明:f （X ）连续的充要条件是

对任意固定的n , 都是X 的连续函数.

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在[a, b]上可积. 当时,

,

.

在[a, b]上可积.

时, 有

上, 若事实上,

必有

的振幅

,

,

的振幅

【答案】由于f （u ）在[A, B]上连续, 所以它在[A, B]上一致连续, 即

, 先找使式（1）成立. 再由在[a, b]上的可积性, 利用第三充要

,

在[a, b]上连续,

中介于其他二值之间的那个值.

【答案】（1）因为

又因为函数f （x ）, g （x ）连续, 所以

.

也连

续.

（2）由题意知,

由（1）的结论得（3）

由连续函数的运算性质, 即知它们都连续.

:连续, 并且已知

在[a, b]上连续, 故由连续函数的运算性质知f （x ）在[a, b]上连续.

也连续,

由连续函数的运算性质知

二、解答题

5． 计算下列积分:

【答案】被积函数

其中D 1, D 2, D 3和D 4见图

.

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