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一、计算题

1． 求函数

【答案】

因此

它在

处不连续, 其图像见图

1.

的不连续点, 并作函数F （a ）的图像.

图1

2． 求心形线

【答案】所围图形的面积为

3． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性:

（l

）（2）（3）（4）（5）（6）

【答案】（1）设

, 则

故

时,

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所围图形的面积.

所以对任意取. 当n>N时, 对任意的.

. 及, 总有

由柯西准则知, 原级数在[﹣1, 1]上一致收敛.

或因为

数在

在[﹣1, 1]上一致收敛. （2）设

上不一致收敛. （3）设从而部分和数列

所以

故原级数在（4）设设

递减, 而

故

在[﹣1, 0]上一致收敛.

（5

）设

上一致有界.

又对任意

（6）对任意的故

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而级数

取

则

则

且

收敛, 从而级

, 所以

内不一致收敛. , 故只需考虑级数

则

在

上的一致收敛性.

且对任意

均单调

由狄利克雷判别法知, 在[0, 1]上一致收敛, 从而原级数

的部分和数列在（﹣1, 1）

,

故

则

均是单调的,

且

由狄利克雷判别法知原级数一致收敛. ,

取

, 则

所以原级数在

4． 在得

上不一致收敛.

上把下列函数展开成傅里叶级数

【答案】易知f （x ）是上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可

所以

故其傅里叶级数为

5． 试问下列等式是否成立:

（1）（2）

【答案】（1

）对于任意一个函数

由于

（2

）因为

的, 故等式不成立.

6． 设实值函数

则

【答案】先来证明一个不等式, 一般称为

及其一阶导数在区间

上连续, 而且

不等式, 即

设

则

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的反函数

当x

属于

的定义域时,

总有

的定义域为R , 故等式成立. 的值域是

所以等号左边的值是有界的, 而等号右边的值是无界