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一、计算题

1． 计算第二型曲线积分

【答案】由题意可令

, 其中L 是从A （0, 1）沿

则

所以积分与路径无关, 选择A 点沿y 轴到原点, 再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而

2． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

3．

讨论黎曼函数

在区间[0, 1]上的不连续点的类

的质量, 设其线密度为

. 到

的一段曲线.

型.

【答案】（1）先证

在

上无理点都连续. 设无理数

若x 为0, 1或无理数, 总有

若取

在则当

的,

记为

中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个,

选其中最接近于

时, 有

（2）再证取无理数列

上的有理点均为使

的第二类间断点. 设有理数

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再取有理数列由

使

所以的右连续点.

则

不存在. 即证

为

的第二类间断点.

（3）类似可证1不是（4）可证0是

4． 判断积分

【答案】对

的左连续点.

的敛散性.

有

再由 5． 设

收敛, 可得收敛.

（1）求f （x ）的傅里叶级数; （2）级数是否收敛? 是否收敛

f （

x ） ? （3）级数在【答案】（1）

内是否一致收敛?

上

（2）f （x ）满足收敛定理条件, 所以f （x ）的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在

（3

）因为f

（x ）的傅里叶级数的和函数在一致收敛.

6． 设f （x ）在

【答案】由条件得

即

.

内不连续, 所以级数在

内不

上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

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7． 展开函数

为正弦级数, 并指出当【答案】将f （x ）作以

时, 此级数之和. 为周期的奇延拓,

故对

8． 讨论狄利克雷函数

的有界性、单调性与周期性. 【答案】①对于任意的②

而

③对于任意的正有理数r 有

因此, 对任意

有

所以, 任意正有理数都是

的周期, 即

是R 上的周期函数.

总有

故可见,

在R 上有界. 在R 上不具有单调性.

, .

. 当

时, 上述级数收敛于.

二、证明题

9． 设f （x

）在明:

至少在两点达到最小值.

【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以

,

使得

, 使得显然

上的值域为

. 再由（f x ）在, 但

,

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上连续

, , 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ）

. 又因为

上的值域也是

, 由连续

,