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一、解答题

1． 将函数

在【答案】

故f （x ）在

的傅里叶级数为

由收敛定理知, 它收敛于

上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.

2． 设函数项级数

（1）证明此级数在（2）求其和函数.

【答案】（1）对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知, 但由于

在

上收敛.

,

所以级数

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, .

上收敛但不一致收敛;

在上不一致

收敛.

（2）设由于级数的通项出. 因此, 如果级数

但由（1）知,

在在

,

而

是以

为公比的几何级数, 其和可以求

上满足逐项求导定理的条件, 那么S （x ）便可求出. 上不一致收敛, 也就是说

在

上考虑上述问题

. 显然V n （x ）在

上有连续上不满足

逐项求导定理的条件. 为了克服这—困难, 我们在缩小的区间

, 使

的导数. 由

, 记

知,

是可得

特别地,

. 由x 0的任意性,

3． 求曲线

【答案】

令

4． 求

（1）（2）（3）

,

得

时取最大值. 故

, 设

其中, 为可微函数;

其中, 为可微函数. 当在点

时

,

当

处曲率最大.

时

,

, 所以K （:r

）在

上曲率最大的点.

, 都有

在

上一致收敛. 因此,

在

上可逐项求导, 于

【答案】（1）本题有错误. 应改为

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令

则

且收敛. 则

（

2）令所以

, 于是

|

5． 讨论下列各函数列

（a ）（b

）（1）

（2）（3）

【答案】 （1）设

则

所以（b ）因为的结论. 又

（2） （a ）

及

在[0, b]上均一致收敛.

在[0, b]上一致收敛, 且每一项均连续, 故

在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故

而

第 4 页，

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, 则

（3）令x=tu, y=tv

, z=tw, 故

在所定义的区间上:

. 与的一致收敛性；

是否有定理的条件与结论

.

满足定理的条件,

进而有定理

满足定理的条件及结论.